Lincoln är 89 placeringar bakom Burnley i den engelska fotbollen.
Försvararen Sean Raggett blev matchhjälte när han nickade in segermålet efter en hörna.
Lincoln är det första amatörlaget att gå till kvartsfinal i FA-cupen sedan Queens Park Rangers 1914.
Lördagens andra skräll stod Millwall för.
Omspel väntar för Manchester City
Klubben, som till vardags spelar i tredje divisionen, är vidare i cupen efter 1–0 hemma mot Leicester. Med Shaun Cummings mål, försvararen avgjorde på tilläggstid, har Millwall därmed bland annat tagit sig förbi Bournemouth, Watford – och nu alltså även Leicester.
Cristhian Stuani räddade Middlesbrough i hemmamötet med Oxford. Premier League-klubben tappade 2–0 till 2–2 – och det var först i 86:e minuten som Stuani säkrade fortsatt spel i FA-cupen.
För Manchester City väntar omspel då mötet med Huddersfield blev mållöst.