Ymer, rankad 133, började inte alls bra mot 189-rankade Fabbiano. Italienaren vann första set med 6-4 men sedan vann svensken två raka set (6-3, 6-4).
I andra kvalomgången väntar Boy Westerhof från Nederländerna, rankad 273 i världen. Blir det vinst även i den matchen väntar en kvalfinal där vinnaren tar sig till huvudturneringen.
Elias Ymer lyckades kvala in till både Franska öppna och Australian open tidigare i år.
Även Christian Lindell, rankad 185, kvalade in till Franska öppna men i sin första gräsmatch gick det sämre. Svensken föll i två raka set mot australiern John Millman (3-6, 2-6).