Den 27-årige nykomlingen höll för trycket i French Open utanför Paris, men till seger räckte det inte.
Björk avslutade med en parrond på den utmanande Le Golf National-banan och slutade delad trea på totat åtta slag under par – fyra bakom engelsmannen Tommy Fleetwood och tre bakom spelkamraten Peter Uihlein, USA.
Placeringen är Björks hittills bästa på Europatouren. I början av mars kom han femma i en mindre tävling i Sydafrika. Även då gick han i ledarboll på söndagen.
Alex Norén blev delad tia och Kristoffer Broberg slutade på delad 16:e plats.