Norén gick ut i spel i dag hela tio slag bakom ledande Jordan Spieth.
Men medan Jordan Spieth och Matt Kuchar hackade tidigt under söndagen såg Norén till att utmana i toppen efter tre birdies första nio hålen.
Segerjakten kom dock av sig när Norén tvingades till en bogey på det elfte hålet.
Världsnian studsade tillbaka med en birdie på 13:e hålet men kunde sedan inte utnyttja möjligheterna på banans par 5-hål.
I stället fick Norén nöja sig med 67 slag i dag och totalt -4 för tävlingen.
Det ser ut att räcka till en delad sjätteplats – och är i så fall Norén bästa placering i The Open under karriären. Hans bästa placering innan denna helg var en delad niondeplats 2012.
Henrik Stenson gick på par i dag, 70 slag, och slutar delad elva på totalt -3.
– Det har varit fantastiskt att spela framför de här fansen. Jag har fått ett fantastiskt mottagande och gjort en okej insats. Det kan man inte klaga alltför mycket på. Det var lite mer slitigt i dag. Det kunde varit bättre men det är klart godkänt, säger Stenson till SVT Sport.