Floridas Nick Cousins tog pucken förbi den svenske Torontoanfallaren Calle Jänkrok innan han sköt det avgörande 3–2-målet, 15 minuter och 32 sekunder in i förlängningen.
Ödesmatchen gick till förlängning efter det att William Nylander kvitterat till 2–2 knappt 16 minuter in i den tredje perioden.
Aaron Ekblad gav Florida 1–0 ledningen, framspelad av Gustav Forsling.
Florida har i och med bortavinsten tagit sig vidare med 4–1 i kvartsfinalserien. I semifinalen står Carolina för motståndet, som slog ut New Jersey med 4–1 i matcher.
Tre Kronor har därmed möjlighet att fråga Nylander om han vill och kan ansluta till den svenska VM-truppen. Ishockey-VM, som avgörs i Finland och Lettland, inleddes i fredags.
Sveriges förbundskapten Sam Hallam håller fem platser öppna i VM-truppen för potentiella NHL-förstärkningar och ett drömnamn har varit William Nylander.
I nattens andra match vann Vegas Golden Knights över Edmonton Oilers med 4–3. William Karlsson stod för en assist för Vegas, som nu leder med 3-2 i matcher.
