Leipzig, med Emil Forsberg i startelvan, behövde tre poäng för sätta press på Manchester United och Paris Saint-Germain.
Det såg lovande ut när Dani Olmo sköt in 3-1 på ett skickligt sätt i den 66:e minuten.
Men Irfan Kahveci, som hade gjort Basaksehirs enda mål, var stekhet framför mål.
I den 72:e minuten tog han sig in från högerkanten och pricksköt in 2-3 med sin vänsterfot.
Knappt en kvart senare kvitterade han. Han drog till med vänsterfoten vid en frispark och fick sen bollen gå in via ribban.
En tuff smäll för Leipzig som då hamnade i ett prekärt läge i gruppen. Men Alexander Sörloth, som hoppade in i stället för Emil Forsberg i den 65:e minuten, fick sista ordet.
Norrmannen sköt in 4-3 på tilläggstid. Segern innebär att Leipzig delar förstaplatsen i gruppen med Manchester United. Båda lagen har nio poäng, men United har spelat en match färre.
Forsberg levererade assist
I den tredje spelminuten kunde Forsberg ha gett tyskarna en drömstart. Han fick bollen i mitten av straffområdet, men skottet gick utanför.
Drygt halvvägs sköt Marcel Sabitzer in 1-0 via Yussuf Poulsen. I den 43:e minuten tog Forsberg revansch för missen tidigare. Svensken låg bakom 2-0-målet när han assisterade till Nordi Mukiele.
Basaksehir hann reducera innan den första halvleken var över.
KLIPP: Marcus Berg hjälte för Krasnodar i Champions League (2 december 2020)
