Det är andra gången på ett par dagar som Dutton utmanar Turnbull. Tidigare i veckan ställde premiärministern sin plats till förfogande vid ett partimöte. I den efterföljande omröstningen vann han med siffrorna 48–35 mot Dutton, som därefter avgick som inrikesminister.
Turnbull säger till Sydney Morning Herald att utvecklingen i veckan är ett ”väldigt medvetet försök att flytta det liberala partiet längre åt höger”.
Han uppger att han hoppas att problemen kan lösas under ett möte på fredagen.
Tillräckligt stöd?
Dutton anses vara mer konservativ än Turnbull. Han tror nu, två dagar efter omröstningen i tisdags, att han har tillräckligt stöd för att ta över posten.
”Tidigare i morse ringde jag premiärministern och informerade honom om att jag bedömer att de flesta i partiet inte längre stödjer hans ledarskap”, säger Dutton i ett uttalande under torsdagsförmiddagen lokal tid.
Han ska under samtalet ha uppmanat Turnbull att sammankalla ett partimöte där en ny omröstning kan genomföras.
Turnbull säger att han väntar på en formell begäran från en majoritet av partiets parlamentsledamöter innan han kallar till ett möte vid lunchtid på torsdagen lokal tid.
”Ordnad övergång”
Flera ministrar har uppgett att Turnbull inte längre har deras stöd.
-Det är med stor sorg och med ett tungt hjärta som vi gick till premiärministern för att informera honom att han enligt vår bedömning inte längre har stöd från majoriteten, säger finansminister Mathias Cormann.
-Det är i det liberala partiets intresse att hjälpa till att hantera en ordnad övergång till en ny ledare.
Affärsmannen Malcolm Turnbull tillträdde på premiärministerposten 2016 efter en turbulent politisk period då landet haft fyra premiärministrar på fem år.