Den republikanske guvernören, som vill behålla dödsstraffet, hade tidigare försökt stoppa förslaget med sitt veto.
En del senatorer i den traditionellt konservativt styrda delstaten har sagt att de i princip är för att avrätta grova brottslingar, men att de inte tror att Nebraska kommer att avrätta några dödsdömda på grund av juridiska hinder.
Den senaste gången en dömd avrättades i Nebraska var 1997.