Uttalandet kom under tisdagen efter att elektorerna träffats för att rösta under måndagen.
– Många av oss hade hoppats att presidentvalet skulle ge ett annat resultat, men vårt regeringssystem har processer för att avgöra vem som svärs in den 20 januari, säger McConnell.
McConnell inledde sitt tal i senaten med att ge den sittande presidenten Donald Trump beröm för sina fyra år i ämbetet och sa att Trump och vice presidenten Mike Pence ”förtjänar vår tacksamhet”.
Det är också första gången som flera ledande republikaner erkänner Joe Biden som segrare.